A typical familiar conversation:

Juana:     ¡Hola!  Me llamo Juana.  Y tú, ¿cómo te llamas?
Sarita:     Me llamo Sarita.
Juana:     Encantada. (typically shaking hands)
Sarita:     El gusto es mío.

This same conversation might include some variations:

Juana:     ¡Hola!  Me llamo Juana.  Y tú, ¿cómo te llamas?
Sarita:     Me llamo Sarita.
Juana:     Mucho gusto. (typically shaking hands)
Sarita:     Igualmente.

Look at the differences if one person introduces two others:

Ava:    Hola, Yasmiin.  Te presento a mi amiga, Naija.
Yasmiin:    Mucho gusto.
Naija:    Encantada.
Ava:    ¡Chao – nos vemos!

As you can see, there are variations in the way people typically respond.  A formal conversation will have some differences, but there can also be many similarities:

Profesora:  ¡Hola! Yo soy la Profesora Hernández.  ¿Cómo se llama usted?
Julio:            Me llamo Julio García, soy un estudiante en la clase.
Profesora:  Mucho gusto.
Julio:           Igualmente.

Profesor:    Profesora Hernández, le presento a mi estudiante Caspar.
Caspar:           Mucho gusto.
Profesora:   El gusto es mío.

Now you know how to say hello and introduce yourself, how do you end a conversation? As with greetings and introductions, farewells can be more or less informal. Here are two friends ending a conversation:
…
Miguel:  Pues… nos vemos.
Paulino:  ¡Chao, hasta luego!

And here are two people with a more formal relationship saying goodbye:

…
Estudiante:  Bueno, profesora, adiós.
Profesora:  Muy bien, hasta mañana.